Ре­ше­ние. Обо­зна­чим вре­мен­но ребро куба за 3x, тогда

За­ме­тим, что пря­мые MN, A₁D и B₁C па­рал­лель­ны, по­это­му ис­ко­мое рас­сто­я­ние равно рас­сто­я­нию от любой точки пря­мой A₁D до плос­ко­сти MNB₁C. Пусть точка O  — се­ре­ди­на A₁D, точка H  — се­ре­ди­на MN и точка K  — се­ре­ди­на B₁C. Опу­стим пер­пен­ди­ку­ляр OT на пря­мую HK. Он пер­пен­ди­ку­ля­рен HK по по­стро­е­нию и лежит в плос­ко­сти BAD₁C₁, пер­пен­ди­ку­ляр­ной к B₁C (так как от­рез­ки B₁C и BC₁ пер­пен­ди­ку­ляр­ны как диа­го­на­ли квад­ра­та, а от­ре­зок B₁C пер­пен­ди­ку­ля­рен ребру C₁D₁, по­сколь­ку ребро C₁D₁ пер­пен­ди­ку­ляр­но плос­ко­сти BB₁C₁C), зна­чит, пер­пен­ди­ку­ля­рен и B₁C, а по­то­му (по при­зна­ку пер­пен­ди­ку­ляр­но­сти пря­мой и плос­ко­сти) и всей плос­ко­сти MNB₁C. Сле­до­ва­тель­но, его длина и есть нуж­ное рас­сто­я­ние.

Изоб­ра­зим от­дель­но плос­кость ABC₁D₁. По тео­ре­ме Фа­ле­са от­ку­да

и

Далее, тогда

и

Зна­чит,

Ответ: 1408.